Làm việc với các hàm thuật toán - núm vú

Một hàm trong toán học chỉ đơn giản là một cách để ánh xạ một số đầu vào cho một đáp ứng. Biểu hiện theo một cách khác, chức năng là sự chuyển đổi (dựa trên phép toán) biến đổi (bản đồ) đầu vào của bạn thành câu trả lời.

Đối với các giá trị đầu vào nhất định (thường được biểu thị bằng chữ cái x hoặc n), bạn có câu trả lời tương ứng sử dụng toán học xác định hàm. Ví dụ, một hàm như f (n) = 2 n cho bạn biết khi đầu vào của bạn là n, câu trả lời của bạn là số n nhân với 2.

Sử dụng kích thước của đầu vào có ý nghĩa cho rằng đây là một thời đại quan trọng tuổi tác và cuộc sống của người dân được crammed với một số lượng ngày càng tăng của dữ liệu. Làm cho tất cả mọi thứ một chức năng toán học ít trực quan, nhưng một chức năng mô tả cách một thuật toán liên quan đến giải pháp của nó với số lượng dữ liệu nhận được là một cái gì đó bạn có thể phân tích mà không cần phần cứng hoặc hỗ trợ phần mềm cụ thể. Nó cũng dễ dàng so sánh với các giải pháp khác, với kích thước của vấn đề. Phân tích các thuật toán thực sự là một khái niệm thổi tâm trí bởi vì nó làm giảm một loạt các bước phức tạp thành một công thức toán học.

Big O, và bạn thường gặp một tập các hàm nhỏ (đặt trong dấu ngoặc đơn và trước bởi một số vốn

O) >) được sử dụng để đại diện cho việc thực hiện các thuật toán. Hình này cho thấy phân tích của một thuật toán. Một hệ tọa độ Cartesian có thể biểu diễn chức năng của nó như được đo bằng mô phỏng RAM, trong đó abscissa (tọa độ x) là kích thước của đầu vào và tọa độ (tọa độ y) kết quả của hoạt động. Bạn có thể thấy ba đường cong được trình bày. Kích thước đầu vào vấn đề. Tuy nhiên, chất lượng cũng là vấn đề (ví dụ, khi đặt hàng vấn đề, nó nhanh hơn để đặt hàng một đầu vào đã được sắp xếp gần như).Do đó, phân tích cho thấy một trường hợp xấu nhất, f 1 (n), một trường hợp trung bình, f 2 (n trường hợp tốt nhất, f 3 (n). Mặc dù trường hợp trung bình có thể cung cấp cho bạn một ý tưởng chung, điều bạn thực sự quan tâm là trường hợp xấu nhất, bởi vì các vấn đề có thể phát sinh khi thuật toán của bạn đấu tranh để đạt được một giải pháp. Chức năng Big O là một trong số đó, sau một giá trị n0 nhất định (ngưỡng để xem xét một đầu vào lớn), luôn luôn dẫn đến một số lượng lớn các phép tính cho cùng một đầu vào so với hàm worst-case > f1. Do đó, chức năng của Big O thậm chí còn bi quan hơn so với thuật toán đại diện cho thuật toán của bạn, do đó không có vấn đề về chất lượng đầu vào, bạn có thể chắc chắn rằng mọi thứ không thể tệ hơn thế.

Độ phức tạp của một thuật toán trong trường hợp đầu vào tốt nhất, trung bình và xấu nhất. Nhiều chức năng có thể dẫn đến kết quả tồi tệ hơn, nhưng lựa chọn các chức năng được cung cấp bởi ký hiệu Big O mà bạn có thể sử dụng bị hạn chế vì mục đích của nó là đơn giản hóa phép đo phức tạp bằng cách đề xuất một tiêu chuẩn. Do đó, phần này chỉ chứa vài chức năng là một phần của ký hiệu Big O. Danh sách dưới đây mô tả chúng theo thứ tự phức tạp: Độ phức tạp liên tục O (1): Đồng thời, cho dù bạn nhập vào bao nhiêu. Cuối cùng, nó là một số hoạt động liên tục, cho dù dữ liệu đầu vào là bao lâu. Mức độ phức tạp này là khá hiếm trong thực tế. Độ phức tạp logarithmic O (log n):

Số lượng hoạt động phát triển chậm hơn so với đầu vào, làm cho thuật toán kém hiệu quả hơn với các đầu vào nhỏ và hiệu quả hơn với các kết quả lớn hơn. Một thuật toán điển hình của lớp này là tìm kiếm nhị phân.

Sự phức tạp tuyến tính O (n):

• Các hoạt động phát triển với đầu vào theo tỉ lệ 1: 1. Một thuật toán điển hình là lặp, đó là khi bạn quét đầu vào một lần và áp dụng một thao tác cho mỗi phần của nó. Độ phức tạp tuyến tính O (n log n):
• Tính phức tạp là sự kết hợp giữa sự phức tạp logarithmic và tuyến tính. Ðiển hình là một số thuật toán thông minh được sử dụng để đặt dữ liệu, chẳng hạn như Mergesort, Heapsort và Quicksort. Độ phức tạp bậc hai O (n
• 2 ):
• Các hoạt động phát triển như một hình vuông của số lượng đầu vào. Khi bạn có một lần lặp lại bên trong một lần lặp lại (lặp lại lồng nhau, trong khoa học máy tính), bạn có sự phức tạp bậc hai. Ví dụ, bạn có một danh sách các tên và, để tìm những cái giống nhau nhất, bạn so sánh mỗi tên với tất cả các tên khác. Một số thuật toán đặt hàng ít hiệu quả hơn trình bày sự phức tạp như vậy: sắp xếp bong bóng, sắp xếp lựa chọn và sắp xếp chèn. Mức độ phức tạp này có nghĩa là các thuật toán của bạn có thể chạy hàng giờ hoặc thậm chí vài ngày trước khi tìm ra giải pháp. Độ phức tạp của khối O (n
• 3 ^): Các hoạt động phát triển thậm chí còn nhanh hơn phức tạp thứ bậc bởi vì bây giờ bạn có nhiều lần lặp lồng nhau. Khi một thuật toán có thứ tự phức tạp này và bạn cần phải xử lý số lượng khiêm tốn của dữ liệu (100, 000 phần tử), thuật toán của bạn có thể chạy trong nhiều năm.Khi bạn có một số hoạt động mà là một sức mạnh của đầu vào, nó là phổ biến để tham khảo các thuật toán như chạy trong thời gian đa thức.
• Sự phức tạp hàm mũ O (2 ⁿ ): Thuật toán mất hai lần số lần thực hiện trước cho mỗi phần tử mới được thêm vào. Khi một thuật toán có sự phức tạp này, ngay cả những vấn đề nhỏ có thể mất mãi mãi. Nhiều thuật toán tìm kiếm toàn diện có sự phức tạp hàm mũ. Tuy nhiên, ví dụ điển hình cho mức độ phức tạp này là việc tính toán các số Fibonacci. Sự phức tạp nhân tố O (n!):
• Một cơn ác mộng thực sự phức tạp do có nhiều sự kết hợp có thể giữa các yếu tố. Chỉ cần tưởng tượng: Nếu đầu vào của bạn là 100 đối tượng và một thao tác trên máy tính của bạn mất 10 ^{-6 999 giây (tốc độ hợp lý cho mỗi máy tính, hiện nay), bạn sẽ cần khoảng 10} 140 năm để hoàn thành nhiệm vụ thành công (khoảng thời gian không thể kể từ khi vũ trụ được ước tính là 10
• 14 năm). Một vấn đề phức tạp nổi bật giai đoạn là vấn đề người bán hàng đi du lịch, trong đó một nhân viên bán hàng phải tìm ra con đường ngắn nhất để thăm nhiều thành phố và trở lại thành phố khởi đầu.